期權的平價公式（PUT-CALL PARITY）以及無風險套利
發布時間：2020-09-22 16:11:19
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歐式期權PCP平價公式（假設標的資產不付紅利）
首先定義如下符號以方便描述：S為標的資產現價；X為期權行權價格；T為期權的到期時間；t為當前時間；r為無風險利率（連續復利）；C為看漲期權的價值；P為看跌期權的價值。
組合1： 看漲期權C+現金（行權價格的無風險貼現值）
組合2： 看跌期權P+標的資產
在T時刻，組合A的價值：若在T時刻股票價格S≥X,則在T時刻組合A的價值為看漲期權的價值S－X加上現金資產X,即S－X +X=S；若在T時刻股票價格S＜X,則在T時刻組合A的價值為看漲期權的價值0 加上現金資產X，即0+X=X。
在T時刻，組合B的價值：若在T時刻股票價格S≥X,則在T時刻組合B的價值為看跌期權的價值0 加上股票價值S，即0+S = S。若在T時刻股票價格S＜X,則在T時刻組合B的價值為看跌期權的價值X-S加上股票價值S，即X-S+S=X。
A、B兩個組合價值
綜上所述，在到期日T時刻，無論股票價格如何變動，組合A的價值總是等于組合B的價值。由此可得，組合A與組合B在當前時刻的價值也應該相同，否則存在無風險套利機會。因此，具有同樣行權價格和到期日的歐式看漲期權和看跌期權當前理論價格滿足以下的關系。
C+Ke^(-rT)=P+S
套利是指利用兩種或更多產品價格之間的不合理關系而獲取確定性盈利的交易方式。當期權的交易價格明顯偏離其理論定價時，就出現無風險套利機會。下面主要從期權價格的上下限方面來討論錯誤定價帶來的無風險套利機會。
看漲期權的持有者有權以某一確定的價格購買約定數量的標的資產。在任何情況下，期權的價值都不會超過標的資產的價值。因此，標的資產價格就是看漲期權的價格上限：C≤S 。如果實際情況違反了這一關系，則套利者通過購買標的資產并賣出看漲期權，可獲得無風險收益。
看跌期權的持有者有權以X的價格出售約定數量的標的資產。無論標的資產價格變得多么低，期權的價值都不會超過X。因此，行權時看跌期權的價格上限：P≤X。
對于歐式看跌期權，由于T時刻期權的價值不會超過X，因此可以將其價格上限進一步確定為：P≤Xe-rt，即歐式看跌期權的價格不會超過其行權價格X的現值。如果不存在這一關系，則套利者可以出售期權并將所有收入以無風險利率投資，獲取無風險套利。
首先定義如下符號以方便描述：S為標的資產現價；X為期權行權價格；T為期權的到期時間；t為當前時間；r為無風險利率（連續復利）；C為看漲期權的價值；P為看跌期權的價值。
組合1： 看漲期權C+現金（行權價格的無風險貼現值）
組合2： 看跌期權P+標的資產
在T時刻，組合A的價值：若在T時刻股票價格S≥X,則在T時刻組合A的價值為看漲期權的價值S－X加上現金資產X,即S－X +X=S；若在T時刻股票價格S＜X,則在T時刻組合A的價值為看漲期權的價值0 加上現金資產X，即0+X=X。
在T時刻，組合B的價值：若在T時刻股票價格S≥X,則在T時刻組合B的價值為看跌期權的價值0 加上股票價值S，即0+S = S。若在T時刻股票價格S＜X,則在T時刻組合B的價值為看跌期權的價值X-S加上股票價值S，即X-S+S=X。
A、B兩個組合價值
S≥X S＜X
組合A Call在T時刻的價值 S－X 0
現金在T時刻的價值 X X
組合A在T時刻總價值 S X
組合B Put在T時刻的價值 0 X-S
股票在T時刻的價值 S S
組合B在T時刻總價值 S X
綜上所述，在到期日T時刻，無論股票價格如何變動，組合A的價值總是等于組合B的價值。由此可得，組合A與組合B在當前時刻的價值也應該相同，否則存在無風險套利機會。因此，具有同樣行權價格和到期日的歐式看漲期權和看跌期權當前理論價格滿足以下的關系。
C+Ke^(-rT)=P+S
套利是指利用兩種或更多產品價格之間的不合理關系而獲取確定性盈利的交易方式。當期權的交易價格明顯偏離其理論定價時，就出現無風險套利機會。下面主要從期權價格的上下限方面來討論錯誤定價帶來的無風險套利機會。
看漲期權的持有者有權以某一確定的價格購買約定數量的標的資產。在任何情況下，期權的價值都不會超過標的資產的價值。因此，標的資產價格就是看漲期權的價格上限：C≤S 。如果實際情況違反了這一關系，則套利者通過購買標的資產并賣出看漲期權，可獲得無風險收益。
看跌期權的持有者有權以X的價格出售約定數量的標的資產。無論標的資產價格變得多么低，期權的價值都不會超過X。因此，行權時看跌期權的價格上限：P≤X。
對于歐式看跌期權，由于T時刻期權的價值不會超過X，因此可以將其價格上限進一步確定為：P≤Xe-rt，即歐式看跌期權的價格不會超過其行權價格X的現值。如果不存在這一關系，則套利者可以出售期權并將所有收入以無風險利率投資，獲取無風險套利。
